נסיעה אין דער אַנריל וועלט פון מאטעמאטיק
איך געשריבן דעם אַרטיקל איין מיטוואך נאָך אַ לעקציע און פיר אין אַ קאָמפּיוטער וויסנשאַפֿט קאָלעגע. איך באַשיצן זיך פון קריטיק פון די סטודענטן פון דער שולע, זייער וויסן, שטעלונג צו וויסנשאַפֿט און רובֿ ימפּאָרטאַנטלי: לערנען סקילז. דאס... קיינער לערנט זיי נישט.
פארוואס בין איך אַזוי פאַרטיידיקונג? פֿאַר אַ פּשוט סיבה - איך בין אין אַ עלטער ווען, מיסטאָמע, די וועלט אַרום מיר איז נאָך נישט פארשטאנען. אפֿשר איך לערנען זיי ווי צו כאַרנאַס און אַנכערנאַס פערד, אלא ווי פאָר אַ מאַשין? אפשר לערנט איך זיי שרייבן מיט א פעפער? כאָטש איך האָבן אַ בעסער מיינונג פון דעם מענטש, איך גלויבן אַז איך "פאָלג", אָבער ...
ביז לעצטנס, אין מיטלשול זיי גערעדט וועגן קאָמפּלעקס נומערן. און עס איז געווען אויף דעם מיטוואך אַז איך בין געקומען היים, פאַרלאָזן - כּמעט קיינער פון די סטודענטן האט נאָך געלערנט וואָס עס איז און ווי צו נוצן די נומערן. עטלעכע מענטשן קוקן אין אַלע מאטעמאטיק ווי אַ גאַנדז אין אַ פּיינטיד טיר. אבער איך איז אויך אָפנהאַרציק סאַפּרייזד ווען זיי דערציילט מיר ווי צו לערנען. פשוט, יעדער שעה פון לעקציע איז צוויי שעה פון לערנען אין שטוב: לייענען אַ לערנבוך, ערשט טריינינג אין סאַלווינג פּראָבלעמס אויף אַ געגעבן טעמע, אאז"ו ו. צוגרײטנדיק זיך אַזױ, קומען מיר צו די איבונגען, װוּ מיר פֿאַרבעסערן אַלצדינג... צופֿרידן, האָבן די תּלמידים, כּלומרשט, געמײנט, אַז זיצן בײַ אַ רעפֿעראַט ― רובֿ אָפֿט מאָל אױסקוקן דורכן פֿענצטער ― גאַראַנטירט שױן, אַז װיסן װעט אַרײַן אין קאָפּ.
אָפּשטעל! דאס איז גענוג. איך וועל באַשרייַבן מיין ענטפער אויף אַ קשיא וואָס איך באקומען בעשאַס אַ קלאַס מיט יונגערמאַן פון די נאַשאַנאַל קינדער פאַנד, אַ ינסטיטושאַן וואָס שטיצט טאַלאַנטירט קינדער פון אַלע איבער די מדינה. די קשיא (אָדער גאַנץ די פאָרשלאָג) איז געווען:
— קענסט איהר עפעס דערצעהלען װעגען אומרעאלע ציפערן?
"אַוודאי," איך געענטפערט.
די פאַקט פון נומערן
"א פריינד איז אן אנדער מיר, פריינדשאַפט איז די פאַרהעלטעניש פון די נומערן 220 און 284," האט געזאגט פּיטהאַגאָראַס. די פונט דאָ איז אַז די סאַכאַקל פון די דיווייזערז פון די נומער 220 איז גלייַך צו 284, און די סאַכאַקל פון די דיווייזערז פון די נומער 284 איז גלייַך צו 220:
קסנומקס + קסנומקס + קסנומקס + קסנומקס + קסנומקס = קסנומקס
1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. באַמערקונג דורך די וועג אַז די ביבלישע יעקבֿ האט עשו 220 שעפּס און ראַמס ווי אַ צייכן פון פֿרייַנדשאַפֿט (גענעסיס 32:14).
אן אנדער טשיקאַווע צופאַל צווישן די נומערן 220 און 284 איז דאָס: די זיבעצן העכסטן הויפּט נומערן זענען 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, און 59.
זייער סאַכאַקל איז 2x220, און די סאַכאַקל פון די סקווערז איז 59x284.
ערשטער. עס איז קיין באַגריף פון "רעאַל נומער". עס איז ווי נאָך לייענען אַן אַרטיקל וועגן עלאַפאַנץ איר פרעגן, "איצט מיר וועלן פרעגן פֿאַר ניט-עלאַפאַנץ." עס זענען גאַנץ און דערענדיקט, ראַשאַנאַל און יראַשאַנאַל, אָבער עס זענען קיין אַנריל. גענוי: נומערן וואָס זענען נישט פאַקטיש זענען נישט גערופן פאַרקריפּלט. עס זענען פאראן אסאך סארטן "נומערן" אין מאטעמאטיק, און זיי זענען אזוי אנדערש פון איינעם ווי — צו נעמען א זאאלאגישן פארגלײך — אן העלפאנט און אן ערדװארעם.
צווייטנס, מיר וועלן דורכפירן אַפּעריישאַנז וואָס איר קען שוין וויסן זענען פּראָוכיבאַטאַד: נעמען קוואַדראַט רוץ פון נעגאַטיוו נומערן. נו, מאטעמאטיק וועט באַקומען אַזאַ באַריערז. טוט דאָס מאַכן זינען כאָטש? אין מאטעמאטיק, ווי אין יעדע אנדערע וויסנשאפט: צי א טעאריע וועט אויף אייביג אריינגיין אין די רעפאזיאטור פון וויסן איז תלוי... פון איר אפליקאציע. אויב עס איז אַרויסגעוואָרפן, עס ענדס אין די אָפּפאַל, דעמאָלט אין עטלעכע אָפּפאַל אין דער געשיכטע פון וויסן. אָן די נומערן וואָס איך רעדן וועגן אין די סוף פון דעם אַרטיקל, עס איז אוממעגלעך צו אַנטוויקלען מאטעמאטיק. אבער לאמיר אנהייבן מיט עטליכע קליינע זאכן. איר וויסן וואָס פאַקטיש נומערן זענען. זיי פּלאָמבירן די נומער שורה טייטלי און אָן גאַפּס. איר אויך וויסן וואָס נאַטירלעך נומערן זענען: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - אַלע פון זיי וועלן נישט פּאַסיק אין זכּרון אַפֿילו די גרעסטע. זיי אויך האָבן אַ שיין נאָמען: נאַטירלעך. זיי האָבן אַזוי פילע טשיקאַווע פּראָפּערטיעס. ווי טאָן איר ווי דאָס:
1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218
12 + קסנומקס2 + קסנומקס2 + קסנומקס2 + קסנומקס2 + קסנומקס2 + קסנומקס2 + קסנומקס2 = קסנומקס2 + קסנומקס2 + קסנומקס2 + קסנומקס2 + קסנומקס2 + קסנומקס2 + קסנומקס2 + קסנומקס2
13 + קסנומקס3 + קסנומקס3 + קסנומקס3 + קסנומקס3 + קסנומקס3 + קסנומקס3 + קסנומקס3 = קסנומקס3 + קסנומקס3 + קסנומקס3 + קסנומקס3 + קסנומקס3 + קסנומקס3 + קסנומקס3 + קסנומקס3
14 + קסנומקס4 + קסנומקס4 + קסנומקס4 + קסנומקס4 + קסנומקס4 + קסנומקס4 + קסנומקס4 = קסנומקס4 + קסנומקס4 + קסנומקס4 + קסנומקס4 + קסנומקס4 + קסנומקס4 + קסנומקס4 + קסנומקס4
15 + קסנומקס5 + קסנומקס5 + קסנומקס5 + קסנומקס5 + קסנומקס5 + קסנומקס5 + קסנומקס5 = קסנומקס5 + קסנומקס5 + קסנומקס5 + קסנומקס5 + קסנומקס5 + קסנומקס5 + קסנומקס5 + קסנומקס5
16 + קסנומקס6 + קסנומקס6 + קסנומקס3 + קסנומקס6 + קסנומקס6 + קסנומקס6 + קסנומקס6 = קסנומקס6 + קסנומקס6 + קסנומקס6 + קסנומקס6 + קסנומקס6 + קסנומקס6 + קסנומקס6 + קסנומקס6
17 + קסנומקס7 + קסנומקס7 + קסנומקס3 + קסנומקס7 + קסנומקס7 + קסנומקס7 + קסנומקס7 = קסנומקס7 + קסנומקס7 + קסנומקס7 + קסנומקס7 + קסנומקס7 + קסנומקס7 + קסנומקס7 + קסנומקס7
"עס איז נאַטירלעך צו זיין אינטערעסירט אין די נאַטירלעך נומערן," האט געזאגט קאַרל לינדענהאָלם, און לעאָפּאָלד קראָנעקקער (1823-1891) האט עס סאַקסינקטלי: "גאָט באשאפן די נאַטירלעך נומערן - אַלץ אַנדערש איז די אַרבעט פון מענטש!" פראַקשאַנז (גערופן באַרדאַסדיק נומערן דורך מאַטהעמאַטיקס) אויך האָבן אַמייזינג פּראָפּערטיעס:
און אין גלייכקייט:
איר קענען, סטאַרטינג פון די לינקס זייַט, רייַבן די פּלאַסיז און פאַרבייַטן זיי מיט קייפל וואונדער - און די יקוואַלאַטי וועט בלייַבן אמת:
און אַזוי אויף.
ווי באקאנט, פאר פראקציעס a/b, וואו a און b זענען גאַנץ נומערן און b ≠ 0, זיי זאָגן באַרדאַסדיק נומער. נאָר זײ רופֿן זיך אַזױ אױף פּויליש. זיי רעדן ענגליש, פראנצויזיש, דייַטש און רוסיש. באַרדאַסדיק נומער. אין ענגליש: ראַשאַנאַל נומערן. יראַשאַנאַל נומערן עס איז יראַשאַנאַל, יראַשאַנאַל. מיר רעדן אויך אויף פּויליש וועגן אומראַציאָנעלע טעאָריעס, געדאַנקען און מעשים — דאָס איז משוגעת, אויסגעטראַכט, אומפאַרשטענדלעך. זיי זאָגן אַז פרויען זענען דערשראָקן פון מיסע - ווי יראַשאַנאַל איז דאָס?
אין אלטע צייטן, נומערן האָבן אַ נשמה. יעדער מענט עפּעס, יעדער סימבאַלייזד עפּעס, יעדער שפיגלט אַ פּאַרטאַקאַל פון אַז האַרמאָניע פון די וניווערסע, דאָס איז, אין גריכיש, די קאָסמאָס. די וואָרט "קאָסמאָס" זיך מיטל "סדר, סדר." די מערסט וויכטיק זענען געווען זעקס (די שליימעסדיק נומער) און צען, די סאַכאַקל פון די קאָנסעקוטיווע נומערן 1+2+3+4, צוגעשטעלט פון אנדערע נומערן, די סימבאַליזאַם פון וואָס איז סערווייווד ביז דעם טאָג. אַזוי פּיטהאַגאָראַס געלערנט אַז נומערן זענען דער אָנהייב און מקור פון אַלץ, און בלויז די ופדעקונג יראַשאַנאַל נומערן אויסגעדרייט די פּיטהאַגאָרעאַן באַוועגונג צו דזשיאַמאַטרי. מיר וויסן די ריזאַנינג פון שולע אַז
√2 - יראַשאַנאַל נומער
ווארים רעכן אַז עס איז: און אַז דעם בראָכצאָל קענען ניט זיין רידוסט. אין באַזונדער, ביידע p און q זענען מאָדנע. זאל ס קוואַדראַט עס: 2q2=p2. דער נומער פּ קען נישט זיין מאָדנע, זינט דעמאָלט פּ2 וואָלט אויך זיין, און די לינקס זייַט פון די יקוואַלאַטי איז אַ קייפל פון 2. דערפאר, p איז אפילו, ד"ה, p = 2r, דעריבער p2= 4 ר2. מיר רעדוצירן די יקווייזשאַן 2q2= 4 ר2 דורך 2. מיר באַקומען ק2= 2 ר2 און מיר זען אַז q מוזן אויך זיין אפילו, און מיר האָבן אנגענומען אַז עס איז נישט. די ריזאַלטינג סטירע קאַמפּליץ די דערווייַז - דעם פאָרמולע קענען אָפט זיין געפֿונען אין יעדער מאַטאַמאַטיקאַל בוך. דעם ומדירעקט דערווייַז איז אַ באַליבט טעכניק פון די סאָפיסץ.
ד י דאזיק ע גײםטיקײ ט האב ן ד י פיטשאיעװע ר ניש ט געקענ ט פארשטײן . אל ץ מו ז קענע ן באשריב ן װער ן מי ט ציפערן , או ן דע ר דיאגאנא ל פו ן א קװאדראט , װא ס יעדע ר קע ן צײכנ ן מי ט א שטעק ן אי ן זאמד , הא ט ניש ט קײ ן , ד י מעזבאר ע לענג . "אומזיסט איז אונדזער אמונה געווען," די פּיטהאַגאָרעאַנס ויסקומען צו זאָגן. וויאזוי? עס ס מין פון ... יראַשאַנאַל. דער פאראיין האט זיך פרובירט צו ראטעווען מיט סעקטארישע מעטאדן. ווער עס יז וואָס דאַז צו אַנטדעקן זייער עקזיסטענץ יראַשאַנאַל נומערן, הא ט געדארפ ט באשטראפ ן מי ט טויט , או ן ד י ערשט ע אורטייל , אפנים , הא ט דע ר בעל י אלײן , א ז דע ר ערשטע ר אורטייל , געטראג ן געװארן .
אָבער "דער געדאַנק איז דורכגעגאנגען אומבאדינט." די גאלדענע תקופה איז אנגעקומען. די גריכן האבן באזיגט די פערסען (מאראטאן 490, פלאטשע 479). די דעמאָקראַטיע האָט זיך פֿאַרשטאַרקט, נײַע צענטערן פֿון פֿילאָסאָפֿישן געדאַנק און נײַע שולן זײַנען אויפֿגעקומען. ד י אנהענגע ר פו ן פיטשאיע װ האב ן זי ך נא ך געמאכ ט מי ט אוראציאנאל ע צאלן . עטלעכע האָבן אנגעזאגט: מיר וועלן נישט באַגרייַפן דעם מיסטעריע; מיר קענען נאָר באַטראַכטן עס און באַווונדערן Uncharted. די לעצטע זענען געווען מער פּראַגמאַטיק און נישט רעספּעקטעד דעם סוד. אי ן יענע ר צײ ט האב ן זי ך דערשינע ן צװ ײ גײםטיק ע קאנסטרוקטן , װעלכ ע האב ן געמאכ ט צ ו פארשטײ ן אוראציאנאל ע צאלן . דער פאַקט אַז מיר הייַנט פֿאַרשטיין זיי גאַנץ גוט געהערט צו יודאָקסוס (XNUMX יאָרהונדערט בק), און בלויז אין די סוף פון די XNUMX יאָרהונדערט האט דער דייַטש מאַטעמאַטיקער ריטשארד דעדעקינד געגעבן יודאָקסוס טעאָריע רעכט אַנטוויקלונג אין לויט מיט די באדערפענישן פון שטרענג מאַטאַמאַטיקאַל לאָגיק.
פילע נומערן אָדער פּייַניקונג
קען איר לעבן אָן נומערן? אַפֿילו אויב, וואָס פֿאַר אַ לעבן וואָלט עס זיין... מיר וואָלט האָבן צו גיין צו די קראָם צו קויפן שיך מיט אַ שטעקן, מיט וואָס מיר האָבן פריער געמאסטן די לענג פון די פֿיס. "איך וואָלט ווי apples, טאַקע, דאָ עס איז!" - מיר וואָלט ווייַזן סעלערז אין די מאַרק. "ווי ווייַט איז עס פון מאָדלין צו Nowy Dwór Mazowiecki"? "שיין נאָענט!"
נומערן זענען געניצט צו מעסטן. מיר אויך נוצן זיי צו אויסדריקן פילע אנדערע קאַנסעפּס. פֿאַר בייַשפּיל, די וואָג פון די מאַפּע ווייזט ווי פיל די שטח פון דער מדינה איז דיקריסט. די צוויי-צו-איין וואָג, אָדער פשוט 2, יקספּרעסאַז די פאַקט אַז עפּעס איז דאַבאַלד. לאָמיר זאָגן מאטעמאטיש: יעדער כאָומאַדזשיניאַטי קאָראַספּאַנדז צו אַ נומער - זייַן וואָג.
אַרבעט. מיר געמאכט אַ קסעראָגראַפיק קאָפּיע, פאַרגרעסערן די בילד עטלעכע מאָל. דעמאלט איז דער פארגרעסערטער פראַגמענט ווידער פארגרעסערט געווארן ב מאל. וואָס איז דער גענעראַל מאַגנאַפאַקיישאַן וואָג? ענטפער: אַ × ב געמערט מיט ב. די וואָג דאַרף זיין מערן. די נומער מינוס איינער, -1, קאָראַספּאַנדז צו איין פּינטלעכקייַט וואָס איז סענטערד, דאָס איז, אַ ראָוטיישאַן פון 180 דיגריז. וואָס נומער קאָראַספּאַנדז צו אַ 90 גראַד ראָוטיישאַן? עס איז ניט אַזאַ נומער. עס איז, עס איז ... אָדער גאַנץ, עס וועט זיין באַלד. זענט איר גרייט פֿאַר גייַסטיק פּייַניקונג? זיין העלדיש און נעמען די קוואַדראַט וואָרצל פון מינוס איינער. איך הער צו? וואס קענסטו נישט טון? נאָך אַלע, איך האָב דיר געזאָגט צו זיין העלדיש. שלעפּ עס אויס! היי, נו, ציען, ציען ... איך וועל העלפן ... דאָ: −1 איצט אַז מיר האָבן עס, לאָמיר עס פּרובירן צו נוצן עס ... אַוודאי, איצט מיר קענען נעמען די וואָרצל פון אַלע נעגאַטיוו נומערן, פֿאַר בייַשפּיל.:
√-4 = 2√-1, √-קסנומקס = 4√-1
- "ראַגאַרדלאַס פון די גייַסטיק פּייַן וואָס דאָס ינטיילז." דאָס איז וואָס Girolamo Cardano געשריבן אין 1539, טריינג צו באַקומען די גייַסטיק שוועריקייטן פֿאַרבונדן מיט - ווי עס באַלד געקומען צו זיין גערופן - ויסגעטראַכט קוואַנטאַטיז. ער האט אזוי געטראכט...
...אַרבעט. צעטיילט 10 אין צוויי טיילן, דער פּראָדוקט פון וואָס איז גלייַך צו 40. איך געדענקען פון די פריערדיקע עפּיזאָד ער געשריבן עפּעס ווי דאָס: דאָך אוממעגלעך. אָבער, לאָזן ס טאָן דאָס: טיילן 10 אין צוויי גלייַך טיילן, יעדער גלייַך צו 5. מערן זיי - מיר באַקומען 25. פֿון די ריזאַלטינג 25 מיר איצט אַראָפּרעכענען 40, אויב איר ווי, און מיר באַקומען -15. איצט קוק: √-15 צוגעגעבן און אַראָפּרעכענען פון 5 גיט איר די פּראָדוקט פון 40. די נומערן זענען 5-√-15 און 5 + √-15. דער רעזולטאַט איז געווען וועראַפייד דורך Cardano ווי גייט:
"ראַגאַרדלאַס פון די גייַסטיק פּייַן דאָס ינטיילז, מערן 5 + √-15 דורך 5-√-15. מיר באַקומען 25 - (-15), וואָס איז גלייַך צו 25 + 15. אַזוי, די פּראָדוקט איז 40 .... עס איז טאַקע שווער."
נו, ווי פיל איז עס: (1 + √-1) (1-√-1)? לאמיר זיך מערן. געדענקט אַז √-1 × √-1 = -1. גרויס. איצט אַ מער שווער פּראָבלעם: פון אַ + ב√-1 צו אַב√-1. וואס איז געשען? פון קורס, ווי דאָס: (אַ + ב√-1) (אַב√-1) = אַ2+b2
וואָס איז אַזוי טשיקאַווע וועגן דעם? פֿאַר בייַשפּיל, דער פאַקט אַז מיר קענען פאַקטאָר אויסדרוקן וואָס מיר "נישט וויסן פריער." אַבריוויייטיד קייפל פאָרמולע פֿאַר2-b2 איר מיסטאָמע געדענקען די פאָרמולע פֿאַר2+b2 עס איז נישט געשען ווייל עס האט נישט געקענט פאסירן. אין די פעלד פון פאַקטיש נומערן, די פּאָלינאָמיאַל2+b2 דאָס איז אַנאַוווידאַבאַל. לאָמיר באַצייכענען "אונדזער" קוואַדראַט וואָרצל פון "מינוס איינער" דורך די בריוו י.2= -1. דאָס איז אַ "אַנרעאַל" הויפּט נומער. און דאָס איז וואָס באשרייבט אַ פלאַך ווענדן 90 דיגריז. פארוואס? נאך אלעם,2= -1, און קאַמביינינג איין 90-גראַד ראָוטיישאַן מיט אן אנדער ענלעך ראָוטיישאַן טראגט אַ 180-גראַד ראָוטיישאַן. וואָס טיפּ פון ראָוטיישאַן איז דיסקרייבד? עס איז קלאָר - אַ 45 גראַד קער. וואָס טוט דער נומער -איך מיינען? עס איז אַ ביסל מער קאָמפּליצירט:
(-איך)2 = -איך × (-איך) = + איך2 = -1
אַזוי - איך אויך באשרייבט אַ 90 גראַד ראָוטיישאַן, פּונקט אין די פאַרקערט ריכטונג צו איך ס ראָוטיישאַן. וואָס איינער איז לינקס און וואָס איינער איז רעכט? איר מוזן מאַכן אַ אַפּוינטמאַנט. מיר יבערנעמען אַז די נומער i ספּעציפיצירט ראָוטיישאַן אין דער ריכטונג אַז מאטעמאטיקער באַטראַכטן positive: קאַונטערקלאָקווייז. די נומער -i באשרייבט ראָוטיישאַן אין דער ריכטונג וואָס די פּוינטערז זענען מאָווינג.
אבער זענען עס אַזאַ נומערן ווי איך און -איך? זענען! מי ר האב ן ז ײ פשו ט געבראכ ט לעבן . איך הער צו? אַז זיי עקזיסטירן בלויז אין אונדזער קעפ? נו וואָס צו דערוואַרטן? אַלע אנדערע נומערן אויך עקסיסטירן בלויז אין אונדזער מיינונג. מיר דאַרפֿן צו זען אויב אונדזער נייַ-געבוירן נומערן וועט בלייַבנ לעבן. מער גענוי, איז דער פּלאַן לאַדזשיקאַל און וועט זיי זיין נוציק פֿאַר עפּעס? ביטע נעמען מיין וואָרט פֿאַר אים אַז אַלץ איז גוט און אַז די נייַע נומערן זענען טאַקע נוציק. נומערן ווי 3+i, 5-7i, אין אַ מער אַלגעמיין פאָרעם: אַ+בי זענען גערופן קאָמפּלעקס נומערן. איך געוויזן איר ווי איר קענען באַקומען זיי דורך ראָוטייטינג די פלאַך. זיי קענען זיין אריין אין פאַרשידענע וועגן: ווי פונקטן פון אַ פלאַך, ווי זיכער פּאָלינאָמיאַלז, ווי זיכער נומעריקאַל ערייז ... און יעדער מאָל זיי זענען די זעלבע: יקווייזשאַן X2 +1=0 עס איז נישטא קיין עלעמענט... האָקוס פּאָקוס עקזיסטירט שוין!!!! לאמיר זיך פרייען און פרייען!!!
סוף פון די רייַזע
דאָס ענדיקט אונדזער ערשטער רייַזע פון די לאַנד פון שווינדל נומערן. צווישן אנדערע אומערדישע ציפערן וועל איך אויך דערמאנען די וואס האבן אן אומענדליכע ציפער אין פאראנט, און נישט הינטערן (זיי הייסן 10-אדיק, ביי אונז איז פ-אדיק מער וויכטיק, וואו p איז א הויפט נומער), למשל X = ... ... ... 96109004106619977392256259918212890625
זאל ס ציילן X ביטע2. ווייַל? וואָס אויב מיר רעכענען די קוואַדראַט פון אַ נומער וואָס האט אַ ינפאַנאַט נומער פון דידזשאַץ הינטער עס? נו, לאָמיר טאָן דאָס זעלבע. לאָמיר געפֿינען אַז X2 = ה.
לאָמיר געפֿינען נאָך אַזאַ נומער מיט אַן אומענדלעכע נומער פון דידזשאַץ אין פראָנט וואָס באַפרידיקן די יקווייזשאַן. אָנצוהערעניש: דער קוואַדראַט פון אַ נומער וואָס ענדיקט זיך מיט זעקס ענדס אויך אין זעקס. דער קוואדראט פון א צאל וואס ענדיגט זיך מיט 76 ענדיגט זיך אויך מיט 76. דער קוואדראט פון א צאל וואס ענדיגט זיך מיט 376 ענדיגט זיך אויך מיט 376. דער קוואדראט פון א צאל וואס ענדיגט זיך מיט 9376 ענדיגט זיך אויך מיט 9376. דער קוואדראט פון א נומער וואס ענדיגט זיך מיט XNUMX... עס זענען אויך נומערן וואָס זענען אַזוי קליין אַז כאָטש זיי זענען positive, זיי בלייבן קלענערער ווי קיין אנדערע positive נומער. זיי זענען אַזוי קליינטשיק אַז מאל עס איז גענוג צו קוואַדראַט זיי צו באַקומען נול. עס זענען נומערן וואָס טאָן ניט באַפרידיקן די צושטאַנד a × b = b × a. עס זענען אויך ינפאַנאַט נומערן. ווי פילע נאַטירלעך נומערן זענען דאָרט? ינפאַנאַטלי פילע? יאָ, אָבער ווי פיל? אין וואָס נומער קען דאָס זיין אויסגעדריקט? ענטפער: דער קלענסטער פון ינפאַנאַט נומערן; עס איז אנגעצייכנט מיט א שײנעם אות: א און צוגעלײגט מיט א נול אינדעקס א0 , אלף־נול .
עס זענען אויך נומערן וואָס מיר טאָן ניט וויסן עקסיסטירן ... אָדער אַז מיר קענען גלויבן אָדער נישט גלויבן אין ווי איר ווילט. און וועגן וואָס: איך האָפֿן איר נאָך ווי ונרעאַל נומבערס, פאַנטאַסי מינים נומבערס.
