פּשוט מאָדעלס מיט קאָמפּלעקס נאַטור ד"ה כאַאָס
דער קאָמפּיוטער איז אַ געצייַג וואָס איז ינקריסינגלי געניצט דורך סייאַנטיס צו ופדעקן סיקריץ קערפאַלי פאַרבאָרגן דורך נאַטור. מאָדעלינג, צוזאַמען מיט עקספּערימענט און טעאָריע, איז שיין דער דריט וועג צו לערנען די וועלט.
מיט דריי יאָר צוריק, אין דעם אוניווערסיטעט פון סילעסיאַ, מיר סטאַרטעד אַ פּראָגראַם צו ויסשטימען קאָמפּיוטער מעטהאָדס אין בילדונג. ווי אַ רעזולטאַט, אַ פּלאַץ פון גאָר יקסייטינג דידאַקטיק מאַטעריאַלס זענען באשאפן, וואָס מאכט עס גרינגער און דיפּער צו לערנען פילע טעמעס. פּיטהאָן איז געווען אויסדערוויילט ווי די הויפּט געצייַג, וואָס, צוזאַמען מיט די מאַכט פון פאַראַנען וויסנשאפטלעכע ביבליאָטעק, איז מיסטאָמע דער בעסטער לייזונג פֿאַר "קאָמפּיוטער יקספּעראַמאַנץ" מיט יקווייזשאַנז, בילדער אָדער דאַטן. איינער פון די מערסט טשיקאַווע ימפּלאַמאַנץ פון אַ גאַנץ וואָרקבענטש איז סאַגע [2]. עס איז אַן אָפֿן ינטאַגריישאַן פון אַ קאָמפּיוטער אַלגעבראַ סיסטעם מיט די פּיטהאָן שפּראַך, און אויך אַלאַוז איר צו גלייך אָנהייבן פּלייינג ניצן אַ וועב בלעטערער און איינער פון די מעגלעך אַקסעס אָפּציעס דורך אַ וואָלקן דינסט [3] אָדער אַ איין קאַמפּיוטינג סערווער אויף וואָס די ינטעראַקטיוו. ווערסיע פון דעם אַרטיקל איז באזירט אויף [4] .
כאַאָס אין עקאָלאָגי
אין זיין פרי יאָרן אין אָקספֿאָרד אוניווערסיטעט, אַוסטראַליאַן געלערנטער ראבערט מייַ געלערנט די טעאָרעטיש אַספּעקץ פון דעמאָגראַפיק דינאַמיק. ער האָט סאַמערייזד זיין אַרבעט אין אַ פּאַפּיר וואָס איז ארויס אין דער זשורנאַל Nature מיט די פּראָוואָקאַטיווע טיטל "פּשוט מאַטאַמאַטיקאַל מאָדעלס מיט העכסט קאָמפּליצירט דינאַמיק." איבער די יאָרן, דעם פּאַפּיר איז געווארן איינער פון די מערסט סייטאַד ווערק אין טעאָרעטיש יקאַלאַדזשי. וואָס האָט געפֿירט אַזאַ אינטערעס אין דעם אַרבעט?
דער קלאַסיש פּראָבלעם פון באַפעלקערונג דינאַמיק איז צו רעכענען די צוקונפֿט באַפעלקערונג פון אַ געגעבן מינים, געגעבן זייַן קראַנט שטאַט. מאטעמאטיש, די סימפּלאַסט יקאָוסיסטאַמז זענען די אין וואָס די לעבן פון איין דור פון אַ באַפעלקערונג לאַסץ איין סעזאָן. א גוטער ביישפיל איז א באפעלקערונג פון אינסעקטן וועלכע דורכגיין א פולשטענדיקע מעטאמארפאזיע אין איין סעזאן, ווי באַטערפלייז. צייט איז געוויינטלעך צעטיילט אין דיסקרעטע פּיריאַדז 2 קאָראַספּאַנדינג צו די לעבן סייקאַלז פון דער באַפעלקערונג. אזוי, די יקווייזשאַנז דיסקרייבינג אַזאַ אַ יקאָוסיסטאַם געוויינטלעך האָבן די אַזוי גערופענע דיסקרעטע צייט, ד.ה. ה = 1,2,3…. ראבערט מיי איז געווען ינוואַלווד, צווישן אנדערע, אין אַזאַ דינאַמיק. אין זיין ריזאַנינג, ער סימפּלאַפייד די יקאָוסיסטאַם צו אַ איין מינים, וועמענס באַפעלקערונג איז געווען אַ קוואַדראַטיק פֿונקציע פון די פריערדיקע יאָר ס באַפעלקערונג. פֿון וואַנען האָט דער מאָדעל קומען?
די סימפּלאַסט דיסקרעטע יקווייזשאַן דיסקרייבינג די עוואָלוציע פון אַ באַפעלקערונג איז אַ לינעאַר מאָדעל:
ווו Ni איז די באַפעלקערונג אין די i-טה סעזאָן, און Ni + 1 באשרייבט די באַפעלקערונג אין דער ווייַטער סעזאָן. עס איז גרינג צו זען אַז אַזאַ אַ יקווייזשאַן קען פירן צו דריי סינעריאָוז. ווען אַ = 1, עוואָלוציע וועט נישט טוישן די באַפעלקערונג גרייס, און <1 פירט צו יקסטינגשאַן, און דער פאַל אַ> 1 מיטל אַנלימאַטאַד באַפעלקערונג וווּקס. דאָס וועט פירן צו אַ ימבאַלאַנס אין נאַטור. זינט אַלץ אין נאַטור איז לימיטעד, עס מאכט זינען צו סטרויערן דעם יקווייזשאַן צו רעכענען די לימיטעד סומע פון רעסורסן. ימאַדזשאַן אַז פּעסץ עסן די זעלבע סומע פון קערל יעדער יאָר. אויב ינסעקץ זענען ווייניק אין נומער קאַמפּערד צו די סומע פון עסנוואַרג זיי קענען רעפּראָדוצירן, זיי קענען רעפּראָדוצירן אין פול רעפּראָדוקטיווע קאַפּאַציטעט, מאַטאַמאַטיקאַללי באשלאסן דורך די קעסיידערדיק אַ> 1. אָבער, ווי פּעסט נומערן פאַרגרעסערן, עסנוואַרג וועט ווערן קנאַפּ און רעפּראָדוקטיווע קאַפּאַציטעט וועט אַראָפּגיין. אין א קריטישן פאל קען מען זיך פארשטעלן, אז עס ווערן געבוירן אזויפיל אינסעקטן, אז זיי עסן די גאנצע תבואה איידער זיי קענען זיך פארמערן, און די באפעלקערונג שטארבט. א מאָדעל וואָס נעמט אין חשבון די ווירקונג פון לימיטעד צוטריט צו עסנוואַרג איז געווען ערשטער פארגעלייגט דורך ווערהולסט אין 1838. אין דעם מאָדעל, די וווּקס קורס איז נישט קעסיידערדיק, אָבער דעפּענדס אויף די שטאַט פון די באַפעלקערונג:
די שייכות צווישן וווּקס קורס a און Ni זאָל האָבן די פאלגענדע פאַרמאָג: אויב די באַפעלקערונג ינקריסיז, די וווּקס קורס זאָל פאַרמינערן ווייַל אַקסעס צו עסנוואַרג איז שווער. פון קורס, עס זענען פילע פאַנגקשאַנז מיט דעם פאַרמאָג: דאָס זענען שפּיץ-אַראָפּ פאַנגקשאַנז. ווערהולסט פארגעלייגט די פאלגענדע שייכות:
ווו אַ>0 און קעסיידערדיק K>0 קעראַקטערייז עסנוואַרג רעסורסן און זענען גערופן די קאַפּאַציטעט פון די סוויווע. ווי קען אַ ענדערונג אין K ווירקן די קורס פון באַפעלקערונג וווּקס? אויב ק ינקריסיז, Ni/K דיקריסאַז. אין קער, דאָס פירט צו די פאַקט אַז 1-Ni/K ינקריסיז, וואָס מיטל עס ינקריסיז. דאָס מיינט אַז דער וווּקס קורס איז ינקריסינג און די באַפעלקערונג איז גראָוינג פאַסטער. אַזוי, לאָמיר מאָדיפיצירן די פריערדיקע מאָדעל (1) דורך אַסומינג אַז די וווּקס קורס וועריז ווי אין יקווייזשאַן (3). דערנאָך מיר באַקומען די יקווייזשאַן
די יקווייזשאַן קענען זיין געשריבן ווי אַ רעקורסיווע יקווייזשאַן
ווו xi = Ni / K און xi + 1 = Ni + 1 / K אָנווייַזן די ריסקאַלד באַפעלקערונג קוואַנטאַטיז אין צייט i און אין צייט i + 1. יקווייזשאַן (5) איז גערופן די לאָגיסטיק יקווייזשאַן.
עס קען ויסקומען אַז מיט אַזאַ אַ קליין מאָדיפיקאַטיאָן אונדזער מאָדעל איז גרינג צו פונאַנדערקלייַבן. זאל ס טשעק עס אויס. זאל ס באַטראַכטן יקווייזשאַן (5) פֿאַר די פּאַראַמעטער אַ = 0.5, סטאַרטינג פון די ערשט באַפעלקערונג קס0 = 0.45. קאָנסעקוטיווע באַפעלקערונג וואַלועס קענען זיין באקומען מיט רעקורסיווע יקווייזשאַן (5):
x1= האַק0(1 ז0)
x2= האַק1(1 ז1)
x3= האַק2(1 ז2)
צו פאַסילאַטייט די חשבונות אין (6), מיר קענען נוצן די פאלגענדע פּראָגראַם (עס איז געשריבן אין פּיטהאָן און קענען זיין לויפן, צווישן אנדערע זאכן, אויף די סאַגע פּלאַטפאָרמע. מיר רעקאָמענדירן אַז איר לייענען דעם בוך http://icse.us. edu .pl/e-book .), סימיאַלייטינג אונדזער מאָדעל:
אַ = 0.5 x = 0.45 פֿאַר איך אין קייט (10): רענטגענ = אַ*רענטגענ*(1–רענטגענ) print x
מיר רעכענען סאַקסעסיוו וואַלועס פון xi און באַמערקן אַז זיי טענד צו נול. דורך עקספּערימענטינג מיט די אויבן קאָד, עס איז אויך גרינג צו זען אַז דאָס איז אמת ראַגאַרדלאַס פון די ערשט ווערט פון x0. דאס מיינט אז די באפעלקערונג שטארבט כסדר.
אין די רגע בינע פון די אַנאַליסיס, מיר פאַרגרעסערן די ווערט פון די פּאַראַמעטער אַ צו קיין ווערט אין די קייט ae (1,3). עס ווײַזט זיך אויס, אַז דערנאָך גייט די סיקוואַנס xi צו אַ געוויסער נומער x * > 0. איבערזעצנדיק דאָס פֿון אַן עקאָלאָגישן שטאַנדפּונקט, קאָן מען זאָגן, אַז די באַפעלקערונגס-גרייס איז פאַרפעסטיקט אויף אַ געוויסער שטאַפּל, וואָס ענדערט זיך נישט פון סעזאָן צו סעזאָן. עס איז כדאי צו באמערקן אַז די ווערט פון x * איז נישט אָפענגען אויף די ערשט שטאַט x0. דאָס איז די ווירקונג פון די יקאָוסיסטאַם שטרעבונג פֿאַר סטייבאַלאַזיישאַן - די באַפעלקערונג אַדזשאַסטיד זייַן גרייס צו די פיייקייט צו קאָרמען זיך. מאטעמאטיש זאגן זיי אז די סיסטעם ווענט צו א סטאביל פארפעסטיקט פונקט, ד.ה. באַפרידיקן די יקוואַלאַטי x = f (קסנומקס) (דאָס מיטל אַז אין דער ווייַטער מאָמענט די שטאַט איז די זעלבע ווי אין די פריערדיקע מאָמענט). מיט סאַגע, מיר קענען וויזשוואַלייז דעם עוואָלוציע גראַפיקלי דורך פּלאַטינג באַפעלקערונג קעגן צייט.
די סטייבאַלייזינג ווירקונג איז געווען דערוואַרט דורך די ריסערטשערז, און די לאָגיסטיק יקווייזשאַן (5) וואָלט נישט האָבן געצויגן פיל ופמערקזאַמקייַט אויב עס איז נישט פֿאַר די יבערראַשן. עס פארקערט אויס אַז פֿאַר זיכער וואַלועס פון די פּאַראַמעטער מאָדעל (5) ביכייווז אין אַ אַנפּרידיקטאַבאַל וועג. ערשטער, עס זענען פּעריאָדיש און מאַלטי-פּעריאָדיש שטאַטן. צווייטנס, מיט יעדער מאָל שריט די באַפעלקערונג ענדערונגען אַניוואַנלי, ווי טראַפ - באַוועגונג. דריטנס, איז פאראן א גרויסע סענסיטיוויטי צו ערשט באדינגונגען: צוויי כמעט נישט אונטערשיידן ערשטן באדינגונגן פירן צו גאר אן אנדער באפעלקערונג עוואלוציע. אַלע די פֿעיִקייטן זענען כאַראַקטעריסטיש פון נאַטור וואָס ריזעמבאַלז גאָר טראַפ - באַוועגונג און איז גערופן דיטערמאַניסטיק כאַאָס.
זאל ס ויספאָרשן דעם פאַרמאָג!
ערשטער, לאָמיר שטעלן די פּאַראַמעטער ווערט אַ = 3.2 און קוק אין די עוואָלוציע. עס קען ויסקומען חידוש אַז דאָס מאָל די באַפעלקערונג ריטשאַז נישט איין ווערט, אָבער צוויי, וואָס פאַלן קאַנסעקיאַטיוו יעדער אנדערער סעזאָן. אָבער, עס האָט זיך אַרויסגעוויזן אַז די פראבלעמען האָבן נישט סוף דאָרט. ביי אַ = 4 די סיסטעם איז ניט מער פּרידיקטאַבאַל. זאל ס קוק אין פיגורע (2) אָדער דזשענערייט אַ סיקוואַנס פון נומערן זיך ניצן אַ קאָמפּיוטער. די רעזולטאַטן ויסקומען צו זיין ריין טראַפ און גאַנץ אַנדערש פֿאַר אַ ביסל אַנדערש סטאַרטינג פּאַפּיאַליישאַנז. אָבער, דער אַטענטיוו לייענער זאָל אַבדזשעקט. ווי קען אַ סיסטעם דיסקרייבד דורך אַ דיטערמאַניסטיק יקווייזשאַן1, אפילו אַ זייער פּשוט איינער, פירן זיך אַנפּרידיקטאַבלי? נו, אפֿשר.
א ספּעציעל שטריך פון דעם סיסטעם איז זייַן מערקווירדיק סענסיטיוויטי צו ערשט טנאָים. עס איז גענוג צו אָנהייבן מיט צוויי ערשט טנאָים וואָס אַנדערש זייַן מיט איין טייל אין אַ מיליאָן, און אין בלויז אַ ביסל טריט מיר באַקומען גאָר פאַרשידענע באַפעלקערונג וואַלועס. לאָמיר קאָנטראָלירן דעם קאָמפּיוטער:
אַ = 4.0
x = 0.123 u=0.123+0.000001 PKC = [] פֿאַר איך אין קייט (25): רענטגענ = אַ*רענטגענ*(1-רענטגענ) ו = אַ*ו*(1-ו) דרוקן רענטגענ, י
דאָ איז אַ פּשוט מאָדעל פון דיטערמאַניסטיק עוואָלוציע. אבער דער דיטערמאַניזאַם איז פאַרפירעריש, עס איז נאָר מאַטאַמאַטיקאַל דיטערמאַניזאַם. פון אַ פּראַקטיש פונט פון מיינונג, די סיסטעם ביכייווז אַנפּרידיקטאַבלי ווייַל מיר קענען קיינמאָל מאַטאַמאַטיקאַל ספּעציפיצירן די ערשט טנאָים. אין פאַקט, אַלץ איז באשלאסן מיט אַ זיכער אַקיעראַסי: יעדער מעסטן מיטל האט אַ זיכער אַקיעראַסי און דאָס קען פאַרשאַפן פּראַקטיש אַנפּרידיקטאַביליטי אין דיטערמאַניסטיק סיסטעמען וואָס האָבן די פאַרמאָג פון כאַאָס. א ביישפּיל איז וועטער פאָרויסזאָגן מאָדעלס, וואָס שטענדיק ויסשטעלונג די פאַרמאָג פון כאַאָס. דאָס איז וואָס לאַנג-טערמין וועטער פאָרקאַסץ זענען אַזוי שלעכט.
די אַנאַליסיס פון כאַאָטיש סיסטעמען איז גאָר שווער. אָבער, מיר קענען גאַנץ לייכט ופשליסן פילע סודות פון כאַאָס ניצן קאָמפּיוטער סימיאַליישאַנז. לאָמיר ציען אַ אַזוי גערופענע ביפורקאַטיאָן דיאַגראַמע, אויף וואָס מיר שטעלן די וואַלועס פון די פּאַראַמעטער אַ צוזאמען די אַבססיס אַקס, און סטאַביל פאַרפעסטיקט פונקטן פון די לאָגיסטיק מאַפּינג צוזאמען די אָרדינאַטע אַקס. מיר באַקומען סטאַביל פונקטן דורך סימיאַלייטינג אַ גרויס נומער פון סיסטעמען סיימאַלטייניאַסלי און פּלאַטינג די וואַלועס נאָך פילע כעזשבן סטעפּס. ווי איר קען טרעפן, דאָס ריקווייערז אַ פּלאַץ פון חשבונות. לאָמיר פּרובירן צו "קערפאַלי" פּראָצעס די פאלגענדע וואַלועס:
אַרייַנפיר נאַמפּי ווי נפּ נקס = 300 אַז = 500 х = np.linspace (0,1, נקס) х = х + np.zeros((נאַ, נקס)) h = np.transpose (h) a=np.linspace(1,4,נאַ) a=a+np.zeros((Nx,Na)) פֿאַר איך אין קייט (100): x=a*x*(1-x) pt = [[אַ_,קס_] פֿאַר אַ_,קס_ אין zip(אַ.פלאַטאַן(),קס.פלאַטטען())] פונט (פּט, גרייס = 1, פייג גרייס = (7,5))
מיר זאָל סוף אַרויף מיט עפּעס ענלעך צו פיגור (3). ווי צו טייַטשן דעם צייכענונג? פֿאַר בייַשפּיל, מיט די פּאַראַמעטער אַ = 3.3, מיר האָבן 2 סטאַביל פאַרפעסטיקט פונקטן (די באַפעלקערונג גרייס איז די זעלבע יעדער רגע צייַט). אָבער, פֿאַר די פּאַראַמעטער a = 3.5 מיר האָבן 4 קעסיידערדיק פונקטן (יעדער פערט סעזאָן די באַפעלקערונג האט די זעלבע גרייס), און פֿאַר די פּאַראַמעטער a = 3.56 מיר האָבן 8 קעסיידערדיק פונקטן (יעדער אַכט סעזאָן די באַפעלקערונג האט די זעלבע גרייס). אָבער פֿאַר פּאַראַמעטער אַ≈3.57 מיר האָבן ינפאַנאַטלי פילע פאַרפעסטיקט פונקטן (די באַפעלקערונג גרייס קיינמאָל ריפּיץ און ענדערונגען אין אַ אַנפּרידיקטאַבאַל וועג). אָבער, מיט אַ קאָמפּיוטער פּראָגראַם, מיר קענען טוישן די פאַרנעם פון דעם פּאַראַמעטער אַ און ויספאָרשן די ינפאַנאַט דזשיאַמעטריק סטרוקטור פון דעם דיאַגראַמע מיט אונדזער אייגן הענט.
דאָס איז נאָר דער שפּיץ פון די ייסבערג. טויזנטער פון וויסנשאפטלעכע צייטונגען האָבן שוין געשריבן וועגן דעם יקווייזשאַן, אָבער עס נאָך כיידז זייַן סיקריץ. מיט די הילף פון קאָמפּיוטער מאָדעלינג, איר קענען, אפילו אָן ריזאָרטינג צו העכער מאטעמאטיק, שפּילן ווי אַ פּיאָניר אין דער וועלט פון ניט-לינעאַר דינאַמיק. מיר לאַדן איר צו לייענען די אָנליין ווערסיע, וואָס כּולל דעטאַילס וועגן פילע טשיקאַווע פּראָפּערטיעס פון די לאָגיסטיק יקווייזשאַן און טשיקאַווע וועגן צו וויזשוואַלייז זיי.
1 א דעטערמיניסטישער געזעץ איז א געזעץ אין וועלכע די צוקונפט איז אייניג באשלאסן דורך דעם ערשטן מצב. דער אַנטאָנימען איז די געזעץ פון מאַשמאָעס. 2 אין מאטעמאטיק, "דיסקרעט" מיטל צו באַקומען וואַלועס פון אַ ספּעציפיש קאַונטאַבאַל גאַנג. דער פאַרקערט פון "שטענדיק".
