פארוואס צעטיילן מיר נישט מיט נול?
צופרידן
די לייענער קענען זיך וואונדערן פארוואס איך וויד א גאנצער ארטיקל פאר אזא נישטיגע ענין? די סיבה איז די סטאַגערינג נומער פון סטודענטן (!) קערלאַסלי קעריינג אויס די אָפּעראַציע גערופן. און ניט נאָר סטודענטן. מאל כאפ איך אויך לערערס. וואָס קענען סטודענטן פון אַזאַ לערערס טאָן אין מאטעמאטיק? די באלדיגע סיבה צו שרייבן דעם טעקסט איז געווען א שמועס מיט א מלמד פאר וועמען די חילוק מיט נול איז נישט געווען קיין פראבלעם...
מיט נול, יאָ, גאָרנישט אַחוץ כאַסאַל, ווייַל מיר טאָן ניט טאַקע דאַרפֿן צו נוצן עס אין וואָכעדיק לעבן. מיר טאָן ניט גיין צו די קראָם פֿאַר נול עגגס. "עס איז איין מענטש אין די צימער" סאָונדס עפעס נאַטירלעך, אָבער "נול מענטשן" סאָונדס קינסטלעך. לינגוויסטן זאָגן אַז נול איז אַרויס די שפּראַך סיסטעם.
מיר קענען אויך טאָן אָן נול אין באַנק אַקאַונץ: פשוט דורך ניצן - ווי אַ טערמאָמעטער - רויט און בלוי פֿאַר positive און נעגאַטיוו וואַלועס (טאָן אַז פֿאַר טעמפּעראַטור עס איז נאַטירלעך צו נוצן רויט פֿאַר positive נומערן, און פֿאַר באַנק אַקאַונץ פאַרקערט, ווייַל דעביט זאָל צינגל אַ ווארענונג, אַזוי די קאָליר רויט איז העכסט רעקאַמענדיד).
דורך אַרייַנגערעכנט נול ווי אַ נאַטירלעך נומער, מיר פאַרבינדן די פּראָבלעם פון דיפערענשייישאַן קאַרדינאַל נומערן od הויזגעזינד. ין 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ….
די מאַכט פון די נומער איז צונויפפאַלן מיט די נומער פון דעם אָרט אויף וואָס עס שטייט. אַנדערש עס איז שוין אין די סיקוואַנס 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ….
די נומער פון איין-עלעמענט שטעלט קומט רגע, די נומער פון צוויי-עלעמענט שטעלט קומט דריט, און אַזוי אויף. מיר האָבן צו דערקלערן וואָס, למשל, מיר טאָן ניט נומער אַטליץ 'פּלאַץ אין קאַמפּאַטישאַנז פֿון קראַצן. דער ערשטער אָרט געווינער וואָלט דעמאָלט באַקומען אַ זילבער מעדאַל (גאָלד וואָלט גיין צו די נול אָרט געווינער), אאז"ו ו. אַ ביסל ענלעך פּראָצעדור איז געניצט אין פוטבאָל - איך טאָן ניט וויסן אויב לייענער וויסן אַז "ערשטער ליגע" מיטל "ווייַטער בעסטער" . ", און די נול ליגע איז גערופן צו ווערן די "הויפּט ליגע".
מאל מיר הערן די אַרגומענט אַז מיר דאַרפֿן צו אָנהייבן פֿון קראַצן ווייַל עס איז באַקוועם פֿאַר עס מענטשן. פאָרזעצן דעם ריזאַנינג, די דעפֿיניציע פון אַ קילאָמעטער זאָל זיין געביטן - עס זאָל זיין 1024 עם, ווייַל דאָס איז די נומער פון ביטעס אין אַ קילאָבייט (איך וועל אָפּשיקן צו אַן אַנעקדאָט באקאנט צו קאָמפּיוטער סייאַנטיס: "וואָס איז דער חילוק צווישן אַ ערשטער- יאָר תּלמיד פון קאָמפּיוטער וויסנשאַפֿט און אַ פינפט-יאָר תּלמיד פון דעם פיייקייַט? אַז אַ קילאָבייט איז 1000 קילאבייט, די יענער - אַז אַ קילאָמעטער איז 1024 מעטער")!
נאך א נקודה וואס מען דארף שוין נעמען ערנסט איז דאס: מיר מעסטן אלעמאל פון אמאל! קוק נאָר אויף אַ וואָג אויף אַ הערשן, אויף אַ הויזגעזינד וואָג, אַפֿילו אויף אַ זייגער. זינט מיר מעסטן פֿון נול, און ציילן קענען זיין פארשטאנען ווי אַ מעזשערמאַנט מיט אַ דימענשאַנאַל אַפּאַראַט, מיר זאָל ציילן פון נול.
עס איז אַ פּשוט ענין, אָבער ...
לאָמיר לאָזן די אַלגעמיינע ריזאַנינג און צוריקקומען צו די חילוק דורך נול. דער ענין איז פּשוט און וואָלט זיין פּשוט אויב נישט ... אַזוי וואָס? זאל ס טראַכטן און פּרובירן. ווי פיל קען עס זיין - איינער צעטיילט דורך נול? זאל ס זען: 1/0 = רענטגענ. מערן ביידע זייטן מיט די דענאָמינאַטאָר פון די לינקס זייַט.
מיר באַקומען 1=0. איז עס עפּעס פאַלש! וואס איז געשען? אַה, אַ השערה! די האַשאָרע אַז עס איז אַ קוואָטיענט פון איין און נול פירט צו אַ סטירע. און אויב איינער נומער קענען ניט זיין צעטיילט דורך נול, דעמאָלט אן אנדער נומער קענען זיין צעטיילט. אויב איר, לייענער, ציט זיך מיט די פּלייצעס און פרעגט זיך פאַרוואָס דער מחבר (דהיינו, איך) שרײַבט וועגן אַזעלכע באַנאַליטעטן, דאַן... בין איך זייער צופרידן!
די פאָרמולע 0/0 = 0 קען זיין אַרגיוד מיט עקשנות, אָבער עס איז קאַנטראַדיקץ די הערשן אַז דער רעזולטאַט פון דיטיילד אַ נומער דורך זיך איז גלייַך צו איין. גאָר, אָבער גאָר אַנדערש, זענען סימבאָלס ווי 0/0, °/° און די ווי אין מאַטאַמאַטיקאַל אַנאַליסיס. זיי מיינען נישט קיין נומער, אָבער זענען אַ סימבאָליש באַצייכענונג פון באַזונדער סיקוואַנסיז פון זיכער טייפּס.
איך האָב געפֿונען אַן טשיקאַווע פאַרגלייַך אין אַן עלעקטריקאַל אינזשעניריע בוך: דיטיילד מיט נול איז ווי געפערלעך ווי הויך-וואָולטידזש עלעקטרע. דאָס איז נאָרמאַל: אָהם געזעץ זאגט אַז די פאַרהעלטעניש פון וואָולטידזש צו קעגנשטעל איז גלייַך: V = U / R. אויב קעגנשטעל איז נול, אַ טעאָרעטיש ינפאַנאַט סומע פון שטראם וואָלט לויפן דורך די אָנפירער, פאַרברענען אַלע מעגלעך קאָנדוקטאָרס.
איך האָב אַמאָל געשריבן אַ ליד וועגן די סכנות פון צעטיילונג מיט נול — פאַר יעדן טאָג פון דער וואָך. אי ך געדענק , א ז דע ר דראמאטישע ר טא ג אי ז געװע ן דאנערשטיק , אבע ר אי ך הא ב זי ך נעבעכדיק ט פא ר מײ ן גאנצ ע ארבע ט אי ן דע ם געביט .
ווען מען טיילט עפעס מיט נול
זייער פרי מאנטאג
די וואָך וואָס פּונקט געטראפן
איר זענט שוין גאָר ניט געראָטן.
ווען אויף דינסטאג נאָכמיטאָג
איר שטעלן אַ נול אין די דענאָמינאַטאָר
איך וועל דיר דעמאלט זאגן, דו האסט א טעות
מיין שלעכטער מאטעמאטיקער!
ווען דורך נול, דורך פּערווערסאַטי,
צי איר ווילן צו טיילן אויף מיטוואך?
איר וועט באַקומען אין אַ פּלאַץ פון קאָנפליקט
דו האסט היי און וואסער אין קאפ!
א געװיסער בארטעק איז געװען מיט אונדז.
ער איז געווען אין שאַנסן מיט די כּללים.
דאנערשטאג ווערט עס צעטיילט מיט נול.
ער איז שוין נישט צװישן אונדז!
אויב אַ מאָדנע פאַרלאַנג נעמט איבער איר,
טיילט מיט נול פרייטאג
איך וועל זאָגן עס גלייַך, ערלעך:
שלעכט אָנהייב צו דעם אָפּרוטעג.
ווען עס קומט צו נול, אַמאָל אויף שבת
די דיווידער וועט זיין דייַן (ניט דרייסט)
קניען אונטער דעם קירך פּלויט.
דאָס איז דיין זונטיק תשובה.
צי איר ווילן אַ נול אונטער די לאָך?
שטעלן דעם יום טוּב אויף זונטיק
ברענגען קרייַד, שוואַרץ ברעט.
שרייב: עס איז נישט דיוויזאַבאַל מיט נול!
נול איז פארבונדן מיט עמפּטינאַס און גאָרנישט. טאקע, עס איז געקומען צו מאטעמאטיק ווי אַ קוואַנטיטי וואָס, ווען צוגעלייגט צו קיין ווערט, טוט נישט טוישן עס: x + 0 = x. אבער איצט נול אויס אין עטלעכע אנדערע מינינגז, רובֿ נאָוטאַבלי ווי אָנהייב פון וואָג. אויב עס איז ניט העכער-נול טעמפּעראַטור און קיין פראָסט אַרויס די פֿענצטער, דעמאָלט ... עס איז נול, וואָס טוט נישט מיינען אַז עס איז קיין טעמפּעראַטור אין אַלע. א נול-קלאַס דענקמאָל איז נישט איינער וואָס איז געווען דעמאַלישט לאַנג צוריק און פשוט נישט עקסיסטירן. אויף די פאַרקערט, עס איז עפּעס ווי וואַוועל, די עיפפעל טאַוער און די סטאַטוע פון ליבערטי.
נו, די וויכטיקייט פון נול אין אַ פּאָסיטיאָנאַל סיסטעם קענען ניט זיין אָוווערסטייטיד. צי איר וויסן, לייענער, ווי פילע זעראָס ביל גייטס האט אין זיין באַנק חשבון? איך ווייס נישט, אבער איך וואלט געוואלט האלב. משמעות, נאַפּאָלעאָן באָנאַפּאַרטע באמערקט אַז מענטשן זענען ווי זעראָס: זיי באַקומען טייַטש דורך שטעלע. אין אַנדזשעי וואדזשדא'ס פילם ווי די יארן, ווי די טעג פארביי, אויפרייסן די לייַדנשאַפטלעכע קינסטלער דזשערזי: "פיליסטינע איז נול, ניהיל, גאָרנישט, גאָרנישט, ניהיל, נול." אָבער נול קען זיין גוט: "נול דיווייישאַן פון די קלאַל" מיטל אַז אַלץ איז גוט, און האַלטן עס אַזוי!
לאָמיר זיך אומקערן צו מאטעמאטיק. נול קענען זיין מוסיף, סאַבטראַקטיד און געמערט מיט ימפּיוניטי. "איך פארדינט נול קילאָגראַמס," מאַניאַ דערציילט אַניאַ. "און עס איז טשיקאַווע, ווייַל איך פאַרפאַלן די זעלבע וואָג," ענטפערט אַניאַ. אַזוי לאָמיר עסן זעקס מאָל זעקס נול סערווינגז אייזקרעם, עס וועט אונדז נישט שאַטן.
מיר קענען נישט טיילן מיט נול, אָבער מיר קענען טיילן מיט נול. א טעלער מיט נול דאַמפּלינגז קענען לייכט זיין דורכגעגאנגען אַרום צו די ווארטן פֿאַר עסנוואַרג. ווי פיל וועט יעדער מענטש באַקומען?
נול איז נישט positive אָדער נעגאַטיוו. דאס איז די נומער ניט-positiveи ניט-נעגאַטיוו. עס סאַטיספייז די ינאַקוואַלאַטיז X≥0 און X≤0. די סטירע "עפּעס positive" איז נישט "עפּעס נעגאַטיוו", אָבער "עפּעס נעגאַטיוו אָדער גלייַך צו נול". מאַטהעמאַטיקס, פאַרקערט צו די כּללים פון שפּראַך, וועט שטענדיק זאָגן אַז עפּעס איז "נול" אלא ווי "נול." צו באַרעכטיקן דעם פיר מיר האָבן: אויב מיר לייענען די פאָרמולע רענטגענ = 0 "רענטגענ יקוואַלז נול", דעמאָלט רענטגענ = 1 מיר לייענען "רענטגענ יקוואַלז איינער", וואָס קען זיין סוואַלאָוד, אָבער וואָס וועגן "רענטגענ = 1534267"? איר קענט אויך נישט באַשטימען אַ נומעריק ווערט צו די כאַראַקטער 00אדער הייבן נול צו אַ נעגאַטיוו מאַכט. אויף די אנדערע האַנט, איר קענען וואָרצל נול ווי איר ווילט ... און דער רעזולטאַט וועט שטענדיק זיין נול,
עקספּאָונענשאַל פֿונקציע י = אַx, די positive באַזע פון אַ, קיינמאָל ווערט נול. עס גייט אַז עס איז קיין נול לאָגאַריטהם. טאקע דער לאגאריטם פון א צו באזע ב איז אן עקספאנענט צו וועלכן מען דארף אויפהייבן די באזע צו באקומען דעם לאגאריטם פון א. ווען אַ = 0 עס איז ניט אַזאַ גראדן, און נול קען נישט זיין די באַזע פון די לאָגאַריטהם. אָבער, די נול אין די "דענאָמינאַטאָר" פון Newton ס סימבאָל איז עפּעס אַנדערש. מיר יבערנעמען אַז די אַגרימאַנץ פירן נישט צו סטירע.
פאַלש זאָגן
דיטיילד דורך נול איז אַ פּראָסט טעמע פֿאַר פאַלש באַווייזן, און עס כאַפּאַנז אפילו צו יקספּיריאַנסט מאטעמאטיקער. זאל מיר געבן איר צוויי פון מיין באַליבסטע ביישפילן. דער ערשטער איז אַלגעבראַיק. איך וועל "באַווייזן" אַז אַלע נומערן זענען גלייַך. רעכן עס זענען צוויי נומערן וואָס זענען נישט גלייַך. דעריבע ר אי ז אײנע ר פו ן ז ײ גרעסער ע פו ן דע ר צװײטע , לאז ט א > ב . זאל אונדז יבערנעמען אַז c איז זייער חילוק
c = אַ – ב. אַזוי מיר האָבן אַ - b = c, פֿון וואָס אַ = b + c.
מיר מערן ביידע זייטן פון די לעצטע מיט אַ - ב:
a2 – ab = ab + ac – b2 – בק.
איך מאַך דעם אַק צו די לינקס זייַט, אַוודאי געדענק איך וועגן דעם סימן ענדערונג:
a2 – אב – אק = אב – ב2 – בק.
איך ויסשליסן פּראָסט סיבות:
א (א-ב-ק) = ב (א-ב-C),
איך ייַנטיילן און איך האָבן וואָס איך געוואלט:
אַ = ב.
און למעשה נאך פרעמדער, ווייל איך האב אנגענומען אז א > ב, און איך האב באקומען אז א = ב, בשעת אין דעם ביישפיל אויבן איז גרינג צו דערקענען די "שנאה", אין די געאמעטריקע באווייזן אונטן איז עס נישט אזוי גרינג. איך וועל באַווייַזן אַז ... די טראַפּעזאָיד טוט נישט עקסיסטירן. די פיגור קאַמאַנלי גערופן אַ טראַפּעזאָיד טוט נישט עקסיסטירן.
אבער לאמיר קודם אננעמען אז עס איז דא אזא זאך ווי א טראפעז (ABCD אין די פיגור אונטן). עס האט צוויי פּאַראַלעל זייטן ("באַסעס"). זאל ס פאַרברייטערן די באַסעס, ווי געוויזן אין די בילד, אַזוי מיר באַקומען אַ פּאַראַלעללאָגראַם. זיין דיאַגאָנאַל טיילן די אנדערע דיאַגאָנאַל פון די טראַפּעזאָיד אין סעגמאַנץ וועמענס לענג זענען דעזיגנייטיד X, y, z, ווי אין ציפער 1. פֿון די ענלעכקייט פון די קאָראַספּאַנדינג טרייאַנגגאַלז מיר באַקומען די פּראַפּאָרשאַנז:
פֿון וואַנען מיר באַשליסן:
Oraz
פֿון וואַנען מיר באַשליסן:
אַראָפּרעכענען די זייטן פון די יקוואַלאַטי אנגעצייכנט מיט אַסטעריסקס:
פאַרקירצן ביידע זייטן מיט x − ז, מיר באַקומען – a/b = 1, וואָס מיטל a + b = 0. אָבער די נומערן a, b זענען די לענג פון די באַזע פון די טראַפּעזאָיד. אויב זייער סאַכאַקל איז נול, זיי זיך זענען נול. דאָס מיינט אַז אַ פיגור ווי אַ טראַפּעזאָיד קען נישט עקסיסטירן! און זינט גראָדעקן, רהאָמבוסעס און סקווערז זענען אויך טראַפּעזאָידס, דעריבער, ליב לייענער, עס זענען אויך קיין רהאָמבוסעס, גראָדעקז און סקווערז ...
אזוי
ייַנטיילונג איז די מערסט טשיקאַווע און טשאַלאַנדזשינג פון די פיר יקערדיק אַקטיוויטעטן. דאָ מיר טרעפן פֿאַר די ערשטער מאָל די דערשיינונג וואָס איז אַזוי פּראָסט אין אַדאַלטכוד: "טראַכטן די ענטפער, און דאַן טשעק אויב איר געסט ריכטיק." דניאל ק. דענעטט האָט עס זייער גענוי אויסגעדריקט ("ווי צו מאַכן טעותים?", אין ווי עס איז - אַ וויסנשאפטלעכע פירער צו דער אַלוועלט, סיס, ווארשע, 1997):
דער אופֿן פון "געסינג" טוט נישט אַרייַנמישנ זיך מיט אונדזער דערוואַקסן לעבן - טאָמער ווייַל מיר לערנען עס פרי און געסינג איז נישט שווער. אידעאָלאָגיש, דער זעלביקער דערשיינונג קומט, למשל, אין מאַטאַמאַטיקאַל (גאַנץ) ינדאַקשאַן. דאָ מיר "רעכענען" די פאָרמולע און דאַן קאָנטראָלירן צי אונדזער טרעפן איז ריכטיק. סטודענטן פרעגן שטענדיק: "ווי זענען מיר געמיינט צו וויסן דעם מוסטער? ווי קען איך באַקומען עס אויס?" ווען סטודענטן פרעגן מיר די קשיא, איך קער זייער קשיא אין אַ וויץ: "איך וויסן דעם ווייַל איך בין אַ פאַכמאַן, ווייַל איך בין באַצאָלט צו וויסן דעם." סטודענטן אין שולע קענען זיין געענטפערט אין די זעלבע נוסח, נאָר מער עמעס.
געניטונג. ביטע טאָן אַז מיר אָנהייבן דערצו און געשריבן קייפל מיט אַ נידעריקער סדר אַפּאַראַט, און טייל מיט אַ העכער סדר אַפּאַראַט.
קאָמבינאַציע פון צוויי געדאנקען
מאַט לערערס האָבן שטענדיק אנגעוויזן אַז וואָס מיר רופן אָפּטייל אין אַדאַלטכוד איז דער פאַרבאַנד פון צוויי קאַנסעפּטשואַלי פאַרשידענע געדאנקען: האָוסינג i צעשיידונג.
דער ערשטער פון זיי (האָוסינג) אַקערז אין פּראָבלעמס ווו די אַרטשעטיפּע איז:
שפּאַלטן-טיילן דאָס זענען טאַסקס אַזאַ ווי:
? (מיר האַלטן דעם אָריגינעל נוסח פון דעם פּראָבלעם, גענומען פון די רעפֿערענץ בוך דורך דזשוליאַן זגאָזאַלעוויטש, ארויס אין קראַקאָוו אין 1892 - די זלאָטי איז די רהעניש זלאָטי, די קראַנטקייַט אין סערקיאַליישאַן אין די עסטראָ-אונגארישע אימפעריע ביז די אָנהייב פון די XNUMXth יאָרהונדערט) .
איצט באַטראַכטן צוויי פּראָבלעמס מיט דאס עלטסטע מאטעמאטיק לערנבוך אין פויליש, פאטער טאמאש קלאס ( 1538 ). איז דאָס אַ אָפּטייל אָדער אַ קופּ? סאָלווע עס ווי פּאַסיק פֿאַר סקולטשילדראַן אין די XNUMXth יאָרהונדערט:
(איבערזעצונג פֿון פּויליש אויף פּויליש: אין אַ פֿאַס איז אַ קוואַרט און פֿיר טעפּ. אַ טאַפּ איז פֿיר קוואַרץ. עמעצער האָט געקויפֿט 20 פֿאַס ווײַן פֿאַר 50 זלאָטיז פֿאַר האַנדל. דער פליכט און שטייערן (אַקציז?) וועט זיין 8 זלאָטעס. ווי פיל צו פאַרקויפן אַ קוואַרט צו פאַרדינען 8 זלאָטיס?)
ספּאָרט, פיזיק, קאַנגרואַנס
מאל אין ספּאָרט איר האָבן צו טיילן עפּעס מיט נול (ציל פאַרהעלטעניש). נו, די ריכטער עפעס האַנדלען מיט אים. אָבער, אין אַבסטראַקט אַלגעבראַ זיי זענען אויף די אַגענדאַ. ניט-נול קוואַנטאַטיזוועמענס קוואַדראַט איז נול. מען קען דאס אפילו פשוט מסביר זיין.
באַטראַכטן אַ פֿונקציע F וואָס אַסיינז אַ פונט (י, 0) צו אַ פונט אויף די פלאַך (רענטגענ, י). וואָס איז F2, דאָס איז, טאָפּל דורכפירונג פון F? נול פֿונקציע - יעדער פונט האט אַ בילד (0,0).
צום סוף, ניט-נול קוואַנטאַטיז וועמענס קוואַדראַט איז 0 זענען כּמעט טעגלעך ברויט פֿאַר פיזיסיסט, און נומערן פון די פאָרעם a + bε, ווו ε ≠ 0, אָבער ε2 = 0, מאטעמאטיקער רופן טאָפּל נומערן. זיי זענען געפֿונען אין מאַטאַמאַטיקאַל אַנאַליסיס און דיפערענטשאַל דזשיאַמאַטרי.
נאָך אַלע, עס איז עפּעס אין אַריטמעטיק וואָס האט טייל דורך נול לפּחות אין נאָמען. דאס קומט פון קאָנגרוענסע. זאל ז באצייכענען די סכום פון גאַנץ נומערן. צעטיילן דעם סכום ז מיט פּ מיטל אַז מיר יקווייט יעדער נומער (גאַנץ נומער) מיט עטלעכע אנדערע, ניימלי די וואָס טיילן זייער חילוק. אַזוי, ווען מיר האָבן פינף טייפּס פון נומערן קאָראַספּאַנדינג צו די נומערן 0, 1, 2, 3, 4 - מעגלעך רעשט ווען צעטיילט דורך 5. די פאָרמולע איז געשריבן ווי דאָס:
מאָד ווען די חילוק איז אַ קייפל.
ביי = 2 מיר האָבן בלויז צוויי נומערן: 0 און 1. צעטיילן גאַנץ נומערן אין צוויי אַזאַ קלאסן איז עקוויוואַלענט צו טיילן זיי אין אַפֿילו און מאָדנע. מיר וועלן עס איצט פאַרבייטן. דער חילוק איז שטענדיק דיוויזאַבאַל מיט 1 (יעדער גאַנץ נומער איז דיוויזאַבאַל מיט 1). קענען מיר נעמען = 0? לאָמיר פּרובירן: ווען איז דער חילוק צווישן צוויי נומערן אַ קייפל פון נול? בלויז ווען די צוויי נומערן זענען גלייַך. אַזוי דיוויידינג אַ סכום פון ינטאַדזשערז מיט נול איז זינען, אָבער עס איז נישט שפּאַס: גאָרנישט כאַפּאַנז. אָבער, עס זאָל זיין אונטערגעשטראכן אַז דאָס איז נישט דיטיילד פון נומערן אין דעם זינען באקאנט פון דער עלעמענטאַר שולע.
אַזאַ אַקשאַנז זענען פּשוט פּראָוכיבאַטאַד, ווי איז לאַנג און ברייט מאטעמאטיק.
רייס. 2. ידענטיפיצירן נומערן ניצן פאַרגלייַך
(בוים 5 און בוים 2)
