קאָראָנאַווירוס און מאַט בילדונג - טייל קאַמישאַנד זאַמלונגען

דער ווירוס וואָס האָט אונדז ינפעקטאַד איז פּראַמפּטינג גיך בילדונגקרייז רעפאָרם. ספּעציעל אין העכער לעוועלס פון בילדונג. א לענגערע עסיי קען זיין געשריבן אויף דעם טעמע; עס וועט זיכער זיין אַ שטראָם פון דאַקטעראַל דיסערטיישאַנז אויף דיסטאַנסע לערנען מעטהאָדס. פון אַ זיכער פונט פון מיינונג, דאָס איז אַ צוריקקער צו אָריגינס און צו פארגעסן געוווינהייטן פון זיך-לערנען. אַזוי איז געווען, למשל, אין דער קרעמענעצער מיטלשול (אין קרעמענעץ, איצט אין אוקראַיִנע, וואָס האָט עקזיסטירט אין 1805—31, האָט געוואַקסן ביז 1914 און האָט איבערגעלעבט איר גלײַכן אין 1922—1939). ד י תלמידי ם האב ן דאר ט אל ץ געלערנ ט — ערשט , נאכ ן לערנען , זענע ן ד י מלמדים , ארײנגעקומע ן מי ט תיקונים , לעצט ע קלערונגען , הילף , אוי ף שװער ע ערטער , א״א . ד, ווען איך בין געווארן א סטודענט, האבן זיי אויך געזאגט, אז מיר דארפן זיך אליינס קריגן וויסן, מען קען נאר באשטעלן און שיקן די שיעורים אין אוניווערסיטעט. אבער דעמאָלט עס איז געווען בלויז אַ טעאָריע ...

אין פרילינג פון 2020, איך איז געווען ניט דער בלויז איינער וואָס דיסקאַווערד אַז לעקציעס (אַרייַנגערעכנט רעפֿעראַטן, עקסערסייזיז, אאז"ו ו) קענען זיין זייער יפעקטיוולי געפירט רימאָוטלי (Google Meet, Microsoft Teams, אאז"ו ו), אין דער פּרייַז פון אַ פּלאַץ פון אַרבעט. פון די לערער און נאָר דער פאַרלאַנג "באַקומען חינוך" פון די אנדערע האַנט; אָבער אויך מיט עטלעכע טרייסט: איך זיץ אין שטוב, אין מיין שטול, און אין טראדיציאנעלן רעפֿעראַטן, סטודענטן זענען אויך אָפט טאן עפּעס אַנדערש. די ווירקונג פון אַזאַ טריינינג קענען זיין אפילו בעסער ווי מיט די טראדיציאנעלן קלאַסצימער-לעקציע סיסטעם, דייטינג צוריק צו די מיטל עלטער. וואָס וועט זיין לינקס דערפון ווען דער ווירוס גייט צו גענעם? איך טראַכטן ... גאַנץ אַ פּלאַץ. אָבער מיר וועלן זען.

הייַנט איך וועל רעדן וועגן טייל אָרדערד שטעלט. עס איז פּשוט. זינט אַ ביינערי באַציונג אין אַ ניט-ליידיק גאַנג X איז גערופן אַ פּאַרטיייש סדר באַציונג ווען עס איז

(טאדעוש קאָטאַרבינסקי, 1886—1981, פילאָסאָף,

פרעזידענט פון דער פוילישער וויסנשאפט־אקאדעמיע אין 1957—1962).

1. רעפלעקסיוו, ד"ה פֿאַר יעדער ∈ עס איז ",
2. פארבייגייער, ד.ה. אויב ", און ", דעמאָלט",
3. האַלב-אַסיממעטריק, ד.ה. ("∧")→ =

א רודערן איז אַ סכום מיט די פאלגענדע פאַרמאָג: פֿאַר קיין צוויי עלעמענטן, עס איז אַ גאַנג פון אָדער "אָדער י". אַנטיטשאַין איז ...

האַלטן, האַלטן! קען מען פון דעם עפעס פארשטיין? פון לויף עס איז. אבער האט איינער פון די לייענער (וואָס טאָן ניט וויסן אַנדערש) שוין פארשטאנען וואָס איז דאָ?

טראכט נישט! און דאָס איז דער קאַנאָן פון לערנען מאטעמאטיק. אויך אין שול. ערשטער, אַ לייַטיש, שטרענג דעפֿיניציע, און דעמאָלט, די וואס זענען נישט שלאָפנדיק פון באָרדאַם וועט באשטימט פֿאַרשטיין עפּעס. ד י דאזיק ע מעטאד ע האב ן אנגעשטעל ט ד י ״גרויסע ״ מאטעמאטיק־לערער . ער מוז זײַן ציכטיק און שטרענג. ס'איז אמת אז אזוי דארף עס זיין צום סוף. מאטעמאטיק זאָל זיין אַן פּינטלעך וויסנשאַפֿט (זען אויך: ).

איך מוז מודה זײַן, אַז אין דעם אוניווערסיטעט, וווּ איך אַרבעט, נאָכן צוריקציען פֿונעם וואַרשעווער אוניווערסיטעט, האָב איך אויך געלערנט אַ סך יאָרן. נאָר עס האָט אַנטהאַלט דאָס באַרימטע עמער קאַלט װאַסער (לאָז עס בלײַבן אַזױ: ס'איז געװען נויטיק אין אַן עמער!). מיט א מאל איז די הויכע אבסטראקציע געװארן ליכטיג און אנגענעם. שטעלן די פונט: גרינג טוט נישט מיינען גרינג. די לייטווייט באַקסער אויך האט אַ שווער צייט.

איך וועל שמייכלען צו מיינע זכרונות. די יסודות פון מאטעמאטיק איז מיר געלערנט געווארן פון דעם דעמאלטיקן דעקאן פונעם פאקולטעט, אן ערשטע קלאס מאטעמאטיקער, וואס איז ערשט אנגעקומען פון א לאנגן פארבלייבן אין די פאראייניגטע שטאטן, וואס איז דעמאלט געווען עפעס אויסערגעוויינליך פאר זיך. איך מיין אז זי איז געווען אביסל סנאביש ווען זי האט פארגעסן אביסל פויליש. זי האָט איבערגענוצט דעם אַלטן פּוילישן "אַז", "דעריבער", "אַזאַלע" און איז אויפֿגעטראָטן מיט דעם באַגריף: "האַלב אַסיממעטריק באַציִונג". איך האָב ליב צו נוצן עס, עס איז טאַקע פּינטלעך. איך גלייך. אבער איך פארלאנג דאס נישט פון סטודענטן. דאָס איז יוזשאַוואַלי גערופן "נידעריק אַנטיסיממעטרי". צען שײנע.

א לאנגע צײט צוריק, װײל אין די זיבעציקער יארן (פון לעצטן יארהונדערט) איז דורכגעפירט געװארן א גרויםע, פרײלעכע רעפארם פון דער לערנען פון מאטעמאטיק. דא ס אי ז צוזאמענגעפאל ן מי ט דע ר אנהויב , פו ן דע ר קורצע ר מלוכה־צייט ה פו ן עדוארד גירעק , — א באשטימט ע עפנטלעכ ע פו ן אונדזע ר לאנ ד צ ו דע ר װעלט . "קינדער קענען אויך זיין געלערנט העכער מאטעמאטיק," יקסקליימד די גרויס לערערס. פֿאַר די קינדער איז צונויפֿגעשטעלט געוואָרן אַ קיצער פֿון דער אוניווערסיטעט־רעפֿעראַט "פֿונדאַמענטאַלן פֿון מאטעמאטיק". דאָס איז געווען אַ גאַנג ניט בלויז אין פוילן, אָבער איבער אייראָפּע. סאָלווינג די יקווייזשאַן איז נישט גענוג; יעדער דעטאַל האט צו זיין דערקלערט. כּדי נישט צו זיין אַנפאַונדיד, יעדער פון די לייענער קענען סאָלווע די סיסטעם פון יקווייזשאַנז:

אָבער די תּלמידים האָבן געמוזט באַרעכטיקן יעדן שריט, אָפּשיקן צו באַטייליקטע סטעיטמענטן, וכו'. דאָס איז געווען אַ קלאַסישער צורה איבער מאַטעריע. עס איז מיר גרינג איצט צו קריטיקירן. אויך איך בין אמאל געווען א שטיצער פון דעם צוגאנג. עס איז יקסייטינג ... פֿאַר יונג מענטשן וואָס זענען לייַדנשאַפטלעך וועגן מאטעמאטיק. עס אַוואַדע איז געווען (און, פֿאַר די צוליב פון ופמערקזאַמקייַט, מיר).

אָבער גענוג מיט דער לירישער דיגרעשאַן, לאָמיר קומען צום ענין: אַ רעפֿעראַט, וואָס איז געווען "טעאָרעטיש" געווידמעט פֿאַר צוויי־יאָריקע פּאַליטעקניק־סטודענטן און וואָלט געווען טרוקענע ווי קאָקאָסנוס פֿלעקן, אויב נישט. איך מגזם אביסל...

גוט מאָרגן פֿאַר איר. די היינטיגע טעמע איז א טיילווייזע רייניקונג. ניין, דאָס איז נישט אַן אָנצוהערעניש פון אָפּגעלאָזן רייניקונג. א בעסער פאַרגלייַך וואָלט זיין צו באַטראַכטן וואָס איז בעסער: פּאָמידאָר זופּ אָדער קרעם שטיקל. דער ענטפער איז קלאָר: עס דעפּענדס אויף וואָס. פֿאַר פאַרבייַסן - קיכלעך, און פֿאַר אַ נערעוודיק שיסל: זופּ.

אין מאטעמאטיק האנדלען מיר מיט ציפערן. זיי זענען אָרדערד: זיי זענען גרעסער און ווייניקער, אָבער פון צוויי פאַרשידענע נומערן, איינער איז שטענדיק ווייניקער, וואָס מיטל די אנדערע איז גרעסער. זיי זענען עריינדזשד אין סדר, ווי אותיות אין דעם אלפאבעט. אינעם קלאַס־לאָג קען דער סדר זײַן: אַדאַמציק, באַגינסקײַאַ, טשאָדזשניצקי, דערקאָווסקי, עלגעט, פיליפּאָוו, גרזעקניק, כאָלניצקי (זיי זענען פריינט און קלאַסמייטלעך פֿון מײַן קלאַס!). מי ר האב ן אוי ך ניש ט קײ ן צװײפל , א ז מאטוסיא ק ״מאטושעליאנסקי ״ מאטושעװסקי ״ מאטיסיאק . דער סימבאָל פֿאַר "טאָפּל ינאַקוואַלאַטי" מיטל "פּריסידז".

אין מיין שפּאַציר קלוב מיר פּרובירן צו מאַכן רשימות אין אַלפאַבעטיקאַל סדר, אָבער דורך נאָמען, למשל, אַלינאַ ווראָנסקאַ "וואַרוואַראַ קאַצאַראָווסקאַ", סיזער בושיץ, אאז"ו ו. אין באַאַמטער ריפּאָרץ די סדר וואָלט זיין פאַרקערט. מאטעמאטיקער רופן אלפאבעטישע סדר לעקסיקאגראפיש (א לעקסיקאן איז מער אדער ווייניגער ווי א ווערטערבוך). פֿון דער אַנדערער זײַט, דער דאָזיקער סדר, אין וועלכן מיר אין אַ נאָמען, וואָס באַשטייט פֿון צוויי טיילן (מיכל שזורעק, אַלינאַ ווראָנסקאַ, סטאַניסלאַוו סמאַרזשינסקי), קוק ערשט אויפֿן צווייטן טייל, איז אַן אַנטי-לעקסיקאָגראַפֿישער סדר פֿאַר מאַטעמאַטיקער. לאַנג טיטלען, אָבער זייער פּשוט אינהאַלט.

1. לינעאַרער סדר: סטאַנציעס און סטאַפּס אויף דער מאַרשרוט פון דער האַבאָווקאַ - זאַקאָפּאַנע באַן פון פּאָדהלע, געבויט אין 1899 (איך לאָזן די דיקאָודינג פון אַבריווייישאַנז צו די לייענער).

אַלע אַזאַ אָרדערס זענען גערופן שורה אָרדערס. מיר סדר אין סדר: ערשטער, רגע, דריט. אַלץ איז אין סדר, פון דער ערשטער פונט צו די לעצטע. דאָס טוט נישט שטענדיק מאַכן זינען. נאָך אַלע, מיר צולייגן ביכער אין דער ביבליאָטעק ניט אַזוי, אָבער אין סעקשאַנז. בלויז אין דער אָפּטיילונג מיר צולייגן עס לינעאַרלי (יוזשאַוואַלי אַלפאַבעטיקלי).

2. לינעאַר סדר: ווען סטאַרטינג די מאַשין מאָטאָר, מיר דורכפירן אַקשאַנז אין אַ מסכים סדר.

מיט גרעסערע פּראַדזשעקס, ספּעציעל צוזאַמענאַרבעט, מיר האָבן ניט מער אַ לינעאַר סדר. זאל ס נעמען אַ קוק בייַ fig. 3. מיר ווילן בויען אַ קליין האָטעל. מיר האָבן שוין געלט (צעל 0). מיר גרייטן דערלויבן, זאמלען מאטעריאלן, אנהייבן בויען, און גלייכצייטיק פירן א רעקלאמאציע קאמפיין, זוכן ארבעטער, אאז"ו ו און אזוי ווייטער. ווען מיר דערגרייכן "10", די ערשטער געסט קענען טשעק אין (בייַשפּיל פון די דערציילונגען פון הער דאָמבראָווסקי און זייער קליין האָטעל אין די סובורבס פון קראַקאָוו). מיר האבן ניט-לינעאַר סדר - עטלעכע זאכן קענען פּאַסירן אין פּאַראַלעל.

אין עקאָנאָמיק, איר לערנען וועגן דעם באַגריף פון די קריטיש דרך. עס איז אַ גאַנג פון אַקשאַנז וואָס מוזן זיין דורכגעקאָכט סאַקווענטשאַלי (און דאָס איז גערופן אַ קייט אין מאטעמאטיק, מער אויף דעם אין אַ מאָמענט), און וואָס נעמען די מערסט צייט. רידוסינג קאַנסטראַקשאַן צייט איז אַ ריאָרגאַנאַזיישאַן פון די קריטיש וועג. אבער מער אויף דעם אין אנדערע רעפעראטן (לאמיר אייך דערמאנען אז איך האלט אן "אוניווערסיטעט לעקציע"). מיר פאָקוס אויף מאטעמאטיק.

דיאַגראַמע ווי פיגורע 3 זענען גערופֿן Hasse דייאַגראַמז (העלמוט האַססע, דייַטש מאַטעמאַטיקער, 1898-1979). יעדער קאָמפּלעקס מי מוזן זיין פּלאַננעד אין דעם וועג. מיר זען סיקוואַנסיז פון אַקשאַנז: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10. מאטעמאטיקער רופן זיי סטרינגס. דער גאנצער געדאַנק באשטייט פון פיר קייטן. אין קאַנטראַסט, אַקטיוויטעט גרופּעס 1-2-3-4, 5-6-7 און 8-9 זענען אַנטיטשיין. אַזױ רופֿט מען זײ. דער פאַקט איז אַז אין אַ באַזונדער גרופּע, קיין פון די אַקשאַנז דעפּענדס אויף די פריערדיקע.

4. דאָס איז אויך אַ האַססע דיאַגראַמע.

לאָמיר גיין צו ציפער 4. וואָס איז ימפּרעסיוו? אָבער דאָס קען זיין אַ מעטראָ מאַפּע אין עטלעכע שטאָט! אונטערערדישע באן זענען שטענדיק גרופּט אין שורות - זיי גיין נישט פון איין צו אנדערן. שורות זענען יחיד שורות. אין שטאָט, רייַז. 4 יא באַקן שורה (געדענקען אַז באַקן ספּעלד "באָלדעם" - אין פויליש עס איז גערופן האַלב-דיק).

אין דעם דיאַגראַמע (פיגורע 4) איז אַ קורץ געל ABF, אַ זעקס-סטאַנציע אַקפקפּס, אַ גרין אַדגל, אַ בלוי דגמרט און די לאָנגעסט רויט. דער מאטעמאטיקער וועט זאגן: אויף דעם האס דיאגראמע איז דא באַקן קייטן. עס איז אויף די רויט שורה זיבן סטאַנציע: AEINRUV. וואָס וועגן אַנטיטשאַינס? זיי זענען דאָרט זיבן. דער לייענער האָט שוין באמערקט אַז איך האָב דאָס וואָרט צוויי מאָל אונטערגעשטראָכן זיבן.

אַנטיסאַפּיישאַן דאָס איז אַזאַ אַ גאַנג פון סטיישאַנז אַז עס איז אוממעגלעך צו באַקומען פון קיין פון זיי צו אנדערן אָן אַריבערפירן. ווען מיר "פיגורע עס אויס" אַ ביסל, מיר וועלן זען די פאלגענדע אַנטיטשאַינס: A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, ​​SR. ביטע טשעק, פֿאַר בייַשפּיל, פון קיין פון די BCLTV סטיישאַנז עס איז ניט מעגלעך צו אַרומפאָרן צו אן אנדער BCTLV אָן טשאַנגינג, אָדער מער גענוי: אָן צו צוריקקומען צו די סטאַנציע געוויזן אונטן. ווי פילע אַנטיטשאַינס זענען דאָרט? זיבן. וואָס גרייס איז דער גרעסטער? באַקן (ווידער אין דרייסט).

איר קענען ימאַדזשאַן, סטודענטן, אַז די צופאַל פון די נומערן איז נישט אַקסאַדענטאַל. דאס. דאָס איז געווען דיסקאַווערד און פּראָווען (ד"ה שטענדיק אמת) אין 1950 דורך Robert Palmer Dilworth (1914-1993, אמעריקאנער מאַטעמאַטיקער). די נומער פון שורות פארלאנגט צו דעקן די גאנצע גאַנג איז גלייַך צו די גרייס פון דעם גרעסטן אַנטיטשאַין, און וויצע ווערסאַ: די נומער פון אַנטיטשאַין איז גלייַך צו די לענג פון די לאָנגעסט אַנטיטשאַין. דאָס קומט שטענדיק אין אַ טייל-אָרדערד גאַנג, ד.ה. איינער וואָס קענען זיין וויזשוואַלייזד. Hassego דיאַגראַמע. דאָס איז נישט אַ גאָר שטרענג און ריכטיק דעפֿיניציע. דאָס איז וואָס מאטעמאטיקער רופן די "ארבעטן דעפֿיניציע". דאָס איז עפּעס אַנדערש פון די "ארבעטן דעפֿיניציע". דאָס איז אַן אָנצוהערעניש ווי צו פֿאַרשטיין טייל אָרדערד שטעלט. דאָס איז אַ וויכטיק טייל פון קיין טריינינג: זען ווי עס אַרבעט.

די ענגליש אַבריווייישאַן איז - דאָס וואָרט סאָונדס שיין אין סלאַוויש שפּראַכן, אַ ביסל ווי טיסאַל. ביטע טאָן אַז טיסאַל זענען אויך בראַנטשט.

זייער שיין, אבער ווער דארף עס? איר, ליב סטודענטן, דאַרפֿן עס צו פאָרן די יגזאַם און, מיסטאָמע, דאָס איז אַ גוט גענוג סיבה צו לערנען עס. איך הערן, וואָס שאלות? איך הער, הער, פון אונטערן פענצטער. טאַקע, די קשיא איז, וועט דאָס אלץ זיין נוציק פֿאַר די האר אין דיין לעבן? אפשר נישט, אבער זיכער פאר איינעם קלוגער ווי דיר... אפשר פאר אנאליזירן דעם קריטישן וועג אין א קאמפליצירטן עקאנאמישן פראיעקט?

דעם טעקסט שרײַב איך אין מיטן יוני, אין וואַרשע אוניווערסיטעט גייען פֿאָר וואלן צום רעקטאָר. איך האב לייענען עטלעכע באַמערקונגען פון אינטערנעט ניצערס. עס איז אַ כידעשדיק סומע פון ​​האַס (אָדער "האַס") צו "געבילדעטע מענטשן." איינער האט בפירוש געשריבן אז מענטשן מיט אן אוניווערזיטעט דערציאונג ווייסן ווייניגער ווי די וואס האבן אן אוניווערזיטעט בילדונג. איך וועל דאָך נישט אַרײַן אין אַ דיסקוסיע. איך בין נאָר טרויעריק, אַז די הערשנדיקע מיינונג אין דער פּוילישער פֿאָלקסרעפּובליק, אַז אַלץ קאָן מען טאָן מיט אַ האַמער און דלאָט קומט צוריק. איך גיי צוריק צו מאטעמאטיק.

דילוואָרטה ס טעאָרעם האט עטלעכע טשיקאַווע אַפּלאַקיישאַנז. איינער פון זיי איז באקאנט ווי די חתונה טעאָרעם.fig. 6). 

עס איז אַ גרופּע פון ​​פרויען (מער מסתּמא גערלז) און אַ ביסל גרעסערע גרופּע פון ​​​​מענטשן. יעדער מיידל מיינט עפּעס ווי דאָס: "איך קען חתונה דעם איינער, דעם איינער, דעם איינער, אָבער קיינמאָל אַ דריט איינער אין מיין לעבן." און אַזוי אויף, יעדער האט זייער אייגן פּרעפֿערענצן. מיר ציען אַ דיאַגראַמע, וואָס פירט צו יעדער פון זיי אַ פייַל פון דער באָכער ער טוט נישט אָפּוואַרפן ווי אַ קאַנדידאַט פֿאַר די מזבח. פראגע: קען מען זיך פאראייניגן פארן אז יעדער זאל טרעפן א מאן וואס זי נעמט אויף?

פיליפוס האַללס טעאָרעם, זאגט , א ז דא ם קא ן געטא ן װער ן — אונטער ן געװיס ע באדינגונגע ן װא ס אי ך װע ל ד א ניש ט דיסקוטירן ( דעמאל ט אי ן דע ר קומענדע ר לעקציע , תלמידי ם ביטע) . באַמערקונג, אָבער, אַז זכר צופֿרידנקייט איז נישט דערמאנט דאָ. ווי איר וויסן, עס זענען פרויען וואָס קלייַבן אונדז, און נישט פאַרקערט, ווי מיר טראַכטן (לאָזן מיר דערמאָנען אַז איך בין דער מחבר, נישט דער מחבר).

עטלעכע ערנסט מאַט. ווי גייט האַללס טעאָרעם פון דילוואָרטה? עס איז זייער פּשוט. זאל ס קוק ווידער אין פיגורע 6. די קייטן דאָרט זענען זייער קורץ: זיי האָבן אַ לענג פון 2 (לויפן אין דער ריכטונג). א סכום פון קליין מענטשן איז אַן אַנטיטשאַין (גענוי ווייַל די עראָוז בלויז פונט צו יעדער אנדערער). דעם וועג איר קענען דעקן אַ גאַנץ זאַמלונג מיט ווי פילע אַנטיטשאַינס ווי עס זענען מענטשן. אַזוי, יעדער פרוי וועט האָבן אַ פייַל. וואָס מיטל זי קען ויסקומען ווי אַ באָכער זי אַקסעפּץ !!!

ווארט, וועט איינער פרעגן, איז דאס? איז דאָס די גאנצע אַפּלאַקיישאַן? כאָרמאָונז עפעס באַקומען צוזאמען און וואָס מאַט? פירסטלי, דאָס איז נישט די גאנצע אַפּלאַקיישאַן, אָבער בלויז איינער פון אַ גרויס סעריע. זאל ס קוק בייַ איינער פון זיי. זאל (פיג. 6) מיינען נישט פארשטייערס פון די בעסערע סעקס, נאר אלא פראזאישע קונים, און דאס זענען בראנפן, למשל אויטאס, וואש מאשינען, וואג פארלוסט פראדוקטן, אפציעס פון רייזע אגענטורן, אאז"ו ו יעדער קוינע האט בראַנדז וואָס ער אָננעמען און פארווארפן. איז עס עפּעס וואָס קענען זיין געטאן צו פאַרקויפן עפּעס צו אַלעמען און ווי? דאָס איז ווו ניט בלויז דזשאָוקס סוף, אָבער אויך די וויסן פון דער מחבר פון דעם אַרטיקל אויף דעם טעמע. אַלע איך וויסן איז אַז די אַנאַליסיס איז באזירט אויף עטלעכע שיין קאָמפּלעקס מאַטאַמאַטיקס.

לערנען מאטעמאטיק אין שולע איז לערנען אַלגערידאַמז. דאָס איז אַ וויכטיק טייל פון טריינינג. אָבער ביסלעכווייַז מיר מאַך צו לערנען ניט אַזוי פיל מאטעמאטיק ווי די מאַטאַמאַטיקאַל אופֿן. דער הײַנטיקער רעפֿעראַט איז געווען נאָר וועגן דעם: מיר רעדן וועגן אַבסטראַקט גײַסטיקע קאָנסטרוקטן, מיר טראַכטן וועגן דעם וואָכעדיקן לעבן. מיר זענען גערעדט וועגן קייטן און אַנטיטשאַינס אין שטעלט מיט פאַרקערט, טראַנזיטיוו און אנדערע באציונגען וואָס מיר נוצן אין קוינע-פאַרקויפער מאָדעלס. דער קאָמפּיוטער וועט טאָן אַלע די חשבונות פֿאַר אונדז. ער וועט נאָך נישט מאַכן מאַטאַמאַטיקאַל מאָדעלס. מיר נאָך געווינען מיט אונדזער טראכטן. אין קיין פאַל, איך האָפֿן פֿאַר ווי לאַנג ווי מעגלעך!